Ok))) empiezo))
Ejercicio. Determinar la ecucación, centro y radio de la circunferencia que pasa x los tres ptos A(-1, 1) B(3, 5) y C(5, -3)...
Q tengo??
A(-1, 1) --> A(x,y)
B(3, 5) --> B(x,y)
C(5, -1) --> C(x,y)
Q necesito??
Ec??,
C??
r??
Entonces, parto de:: x² + y² + Dx + Ey +F= 0 la ecuación general, estoy buscando la Ec??
Sustituyo los 3 ptos, así::
A(-1, 1) --> -1² + 1² - D + E +F= 0
B(3, 5) --> -3² + 5² + 3D + 5E +F= 0
C(5, -3) --> 5² - 3² + 5D - 3E +F= 0
-------------> 1 + 1 - D + E +F= 0
-------------> 9 + 25 + 3D + 5E +F= 0
-------------> 25 + 9 + 5D - 3E +F= 0
Reduzco más::
-------------> 2 - D + E +F= 0
-------------> 34 + 3D + 5E +F= 0
-------------> 34 + 5D - 3E +F= 0
TI del otro lado::
-------------> - D + E +F= -2 x -1 (me fastidia -D)
-------------> 3D + 5E +F= -34
-------------> 5D - 3E +F= -34
Tengo sistema de 3 ecuaciones::
-------------> D -E -F= 2
-------------> 3D + 5E +F= -34
-------------> 5D - 3E +F= -34
A quién llamó?? a Cramer para resolver las incognitas D=??, E=?? y F=??
1 -1 -1
1) Δ= 3 5 1 ---> 5 + 9 -5 - (-25 - 3 -3) = 9 +31 = 40
5 -3 1
2 -1 -1
2) D= D/Δ -34 5 1 ---> 10 -102 +34 -(170 - 6 + 34) = -58 - 198 = -256
-34 -3 1 D= -256/40 --> - 32/5
1 2 -1
3) E= E/Δ 3 -34 1 ---> -34 +102 +10 -(170 - 34 + 6) = 78 - 142 = -64
5 -34 1 E= -64/40 --> - 8/5
1 -1 2
4) F= F/Δ 3 5 -34 ---> -170 -18 +170 -(50 + 102 + 102) = -18 - 254 = -272
5 -3 -34 F= -272/40 --> - 34/5
Como ya conozco los valores de D,E,F sustituyo en:: x² + y² + Dx + Ey +F= 0
x² + y² + (-32/5)x + (-8/5)y +(-34/5) = 0 me fastidian los 5, los elimino, x5
5[x² + y² + (-32/5)x + (-8/5)y +(-34/5)] = 0
5x² + 5y² + 5(-32/5)x + 5(-8/5)y +5(-34/5)] = 0
5x² + 5y² -32x -8y -34 = 0 -----> esta es la Ecuación de la circunferencia:: Ec
Como ya conocemos D y E buscamos a y b::: y tenemos el Centro
a= -D/2 --> a= -32/5
2
a= -32
10
a= -16
5
b= -E/2 --> a= -8/5
2
b= -8
10
b= -4
5
C:: (16/5 ; 4/5)
Seguimos con el radio::
r= √a² + b² - F
r= √ 256/25 + 9/25 --34/5
r= √ 17,4
r= 4,17
Hay otra manera de hallar el centro y el radio, a partir de la Ec::::
5x² + 5y² -32x -8y -34 = 0 div 5
5x² + 5y² -32x -8y = 34
5
x² + y² -32/5x -8/5y = 34/5 ordenamos
(x² - 32/5x) + ( y² -8/5y) = 34/5 completamos cuadrados
(x -16/5)² + (y - 4/5)² = 442/25
Hallamos el Centro y el r:::
C:: (16/5 ; 4/5)
r= 1/5 √442
Fin)))
Si queremos comprobar el Sistema de Ecuaciones, sustituimos los valores de D, E, F
-------------> -32/5 -(-8/5) -(-34/5) = 2 ---> 2 = 2 (Ok)
-------------> 3(-32/5 )+ 5(-8/5) +(-34/5) = -34 ----> -34 = -34 (Ok)
-------------> 5(-32/5 ) - 3(-8/5) +(-34/5) = -34 ----> -34 = -34 (Ok)
Nota)) Los d+ son iguales, mismo planteamiento..
Fe (11/02/13)
